| Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky |
| Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci |
Absolvent oboru je připraven k následnému magisterskému studiu v matematických oborech. Má rozvinuté abstraktní myšlení a tvůrčí přístup k formulaci a řešení problémů. Po získání nezbytných znalostí z dalších oborů je schopen pokračovat v magisterském studiu v nematematických oborech, nebo se uplatní v praxi ve sféře ekonomické, finanční či informatické.
2. Matematická analýza
(1) Číselné posloupnosti: vlastnosti a operace s posloupnostmi; limita posloupnosti – věty o limitách, výpočet limit.
(2) Číselné řady: součet a konvergence řady; absolutní konvergence; operace s řadami; kritéria konvergence.
(3) Limita a spojitost funkcí jedné proměnné: definice limity funkce; věty o limitách a jejich výpočet; spojitost funkce v bodě a na intervalu; věty o spojitých funkcích na intervalu; vztah spojitosti a derivace.
(4) Derivace funkce jedné proměnné: geometrický a fyzikální význam derivace; derivace složené a inverzní funkce; diferenciál funkce; derivace vyšších řádů.
(5) Základní věty diferenciálního počtu funkce jedné proměnné. Rolleova věta; Cauchyova věta; Lagrangeova věta; l'Hospitalovo pravidlo; Taylorův vzorec.
(6) Průběh funkce jedné proměnné: postup při vyšetřování průběhu funkce; podmínky pro monotonnost, konvexitu; určování extrémů, inflexních bodů a asymptot.
(7) Primitivní funkce a neurčitý integrál: integrace metodou per partes a substituční metodou; integrace racionální funkce a dalších funkcí.
(8) Riemannův a Newtonův integrál: definice Riemannova integrálu a jeho vlastnosti; integrovatelné funkce; integrál jako funkce horní meze; Newtonův integrál a jeho srovnání s Riemannovým.
(9) Nevlastní integrály: vlivem meze; vlivem funkce; jejich výpočet; kritéria konvergence.
(10) Integrály závislé na parametru: limitní přechod, derivování a integrování za znamením vlastního integrálu s parametrem; stejnoměrná konvergence integrálu a její užití; funkce Beta a Gamma.
(11) Posloupnosti funkcí a funkční řady: bodová konvergence a stejnoměrná konvergence; kritéria stejnoměrné konvergence; spojitost součtu řady; integrace a derivování po členech.
(12) Mocninné řady: konvergence mocninných řad; derivování a integrování mocninných řad; Taylorova řada.
(13) Metrické prostory: metrika; konvergentní a cachyovská posloupnost; úplný prostor; normovaný lineární prostor.
(14) Spojitost a limita funkcí více proměnných: spojitost v bodě a na množině, speciálně na souvislé a kompaktní množině; limita ve vlastním a nevlastním bodě; Banachova věta o pevném bodě.
(15) Diferenciální počet funkcí více proměnných: směrové a parciální derivace 1.řádu; Gâteauxův a Fréchetův diferenciál 1.řádu; Směrové a parciální derivace 2.řádu; Gâteauxův a Fréchetův diferenciál 2.řádu.
(16) Extrémy funkcí více proměnných: Taylorův vzorec; lokální, vázané a globální extrémy.
(17) Riemannův n-rozměrný integrál: definice integrálu a jeho vlastnosti; výpočet pomocí Fubiniovy věty; věta o substituci v integrálu – polární, cylindrické a sférické souřadnice.
(18) Křivkové a plošné integrály, transformační věty:
integrál 1.druhu; integrál 2.druhu; Stokesova věta, Gaussova–Ostrogradského věta.
3. Diferenciální a diferenční rovnice a jejich aplikace
(1) Elementární metody řešení diferenciálních rovnic.
(2) Existence a jednoznačnost řešení Cauchyovy počáteční úlohy.
(3) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu.
(4) Systémy lineárních diferenciálních rovnic.
(5) Globální vlastnosti řešení diferenciálních rovnic.
(6) Metoda variace konstant v teorii diferenciálních rovnic.
(7) Harmonické funkce a jejich vlastnosti
(8) Eliptické rovnice.
(9) Rovnice struny: D'Alembertova metoda.
(10) Metoda separace proměnných.
(11) Rovnice vedení tepla na celé reálné ose.
4. Pravděpodobnost a matematická statistika
(1) Slabý a silný zákon velkých čísel (definice, význam, věty o postačujících podmínkách, vzájemný vztah slabého a silného zákona). Klasická limitní věta a její důsledky, aplikace.
(2) Náhodná veličina, její distribuční funkce, vlastnosti, rozdělení pravděpodobnosti, příklady těchto rozdělení.
(3) Analýza rozptylu při jednoduchém a dvojném třídění.
(4) Náhodný vektor, jeho distribuční funkce, rozdělení pravděpodobnosti, marginální rozdělení, nezávislé náhodné veličiny, jejich vlastnosti.
(5) Testování statistických hypotéz, nulová a alternativní hypotéza, test, chyby, hladina významnosti, síla testu. Příklad testu hypotézy o parametru normálního rozdělení resp. hypotézy o parametrech dvou normálně rozdělených znaků.
(6) Číselné charakteristiky náhodné veličiny a náhodného vektoru, jejich vlastnosti (střední hodnota, momenty, kvantily, rozptyl, varianční a kovarianční matice, korelační matice).
(7) Náhodný výběr, výběrová funkce, bodový a intervalový odhad parametru, příklady těchto odhadů.
(8) Testy dobré shody se známými a neznámými parametry.
(9) Pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost (věty o násobení, věta o úplné pravděpodobnosti, Bayesova věta), nezávislé náhodné jevy, jejich vlastnosti.
(10) Lineární regrese analýza, typy regresních vztahů. Odhady parametrů a jejich vlastnosti.
(11) Korelační analýza: koeficient korelace, korelační matice, koeficient mnohonásobné korelace,
parciální korelační koeficient.